オイラーの定理

[数学]オイラーの定理と呼ばれたこの子をどうにかする (テイラー展開編)CommentsAdd Star

* 昨晩お世話になったオイラーの定理(仮称)を証明してみる - 睡眠不足？！

の訂正版．

@stakemuraさんに頂いたコメントの後，しばらく考えていた．確かに定義と言われるとそうなのだけれど，僕には少し馴染みのない式展開で，どうも頭に入らなかった．

定理と呼ぶまでもないというコメントも頂き，オイラーの定理と呼ばれたこの子をもう少し簡単に説明できないものかと考えていた．(いちおう言い訳しておくと，サポートベクターマシン入門の訳者がそう書いたんであって，あたしじゃないからねっ)

そこで逆の発想をすることにする．expの定義から導くのではなく，expのテイラー展開をすればよいという方法を取ることにする．expの0におけるテイラー展開 (マクローリン展開) は，

(2011-04-13追記) @syou6162さんのご指摘により修正しました．ありがとうございます．

e^x = 1 + x + ￥frac{x^2}{x!} + ￥frac{x^3}{3!} + ￥cdots

なので，右辺の最初の二項だけに注目すれば，

e^x > 1 + x

ここで，x = ￥frac{a}{x} とおく (前回の記法と合わせるため，別のxが出てきて混乱してしまうが，ご容赦)

すると

e^{￥frac{a}{x} > (1 + ￥frac{a}{x})

両辺をx乗すると

e^{a} > (1 + ￥frac{a}{x})^x

おぉ! オイラーの定理 (仮称) が出てきたではないか!

というわけで，指数関数のテイラー展開で導くことができましたとさ．(おしまい)

まぁ，けれど数学的素養がない人間が，適当なことを書いたおかげで色々な方々にアドバイスやコメントを頂くことができて，とても良い経験になった．ありがとうございます．また，あーでもないこーでもないと考えているときはとても楽しいし，自力でたどり着いたときのアハ感は子供のような感覚で気持ちよかった．

さて今回もテイラー展開を天下り的に使ってしまったけれど，テイラーの定理までは，所与のものとする．微積分の教科書を読んでいると「ロルの定理 => 平均値の定理 => テイラーの定理」という一連の定理と証明の流れを見て，あぁ，こんな当たり前にとても大切なことをスルーしていたとは，というなんだか悲しい気分になった．

７月２７日放送のNHK・クローズアップ現代では、
「大人がハマる“数学ブーム”の謎」と題して、
数学にハマル大人たちの様子などを紹介していました。
番組ＨＰから、放送内容を転載します。


大人の“数学ブーム”が続いている。出版界では「語りかける中学数学」がこの５年間で１０万部を突破。高等数学の世界へ誘う「オイラーの贈物」、「ガロアの群論」といった難解な数学の本もそれぞれこの１年で２万部を超える勢いだ。カルチャーセンターや個人塾など社会人向けの数学講座はキャンセル待ちの状態も出ているという。今、多くの大人が数学に求めるもの。それはかつて中高時代に挫折した「何重もの論理の積み上げ」を体感したいという思いや、数学者の「ひらめきの秘密」を知りたいという気持ち。混迷する不安定な社会にあって、確かなものに接したいという願いと、想定外の事態でも進むべき道を切り開ける強さを身につけたいというニーズがあるという。いったい人々は数学にどのような世界を見ているのか？　ブームの謎を探りながら、一般社会人をもとりこにする数学の魅力に迫る。


番組では、最近売れている数学の本として、
『語りかける中学数学』（高橋一雄著　ベレ出版）他をまず紹介しました。


http://d.hatena.ne.jp/sleepy_yoshi/20110413/p1
http://francesco-clara.cocolog-nifty.com/blog/2011/07/nhk2011727-10f1.html